Cấp số cộng là gì? Công sai là gì? Công thức tính cấp số cộng?

1. Khái niệm cấp số cộng? Công sai là gì? Ví dụ?

Một cấp số cộng là một chuỗi số (có thể là hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó từ số thứ hai trở đi, mỗi số hạng được tính bằng số hạng trước đó cộng với một số không đổi.

Số không đổi này được gọi là công sai.

Công thức:

Un = Un-1 + d (n>=2)

Ví dụ:

– Dãy hằng với các số hạng không đổi là cấp số số cộng với công sai bằng O.

– Dãy các số tự nhiên 2; 4; 6; 8; 10;… là một loạt số cộng với công sai là 2.

2. Tính chất cấp số cộng?

Nếu nó là một loạt số cộng thì từ số thứ hai trở đi, mỗi số (trừ số cuối đối với loạt số cộng hữu hạn) là trung bình cộng của hai số liền kề trong dãy số.

Công thức:

Un = (Un-1 + Un+1) : 2

Ví dụ:

Ta có 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là: 10; 12; 14

Thì (10+14):2 = 1

3. Tính công sai cấp số cộng?

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Thì công thức tính công sai bằng:

Công thức:

d=Un+1 – Un

Ví dụ:

Ta có dãy số  1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 là một cấp số cộng với công sai d = 4

vì: 25-21=4; 21-17=4;…

4. Số hạng tổng quát của cấp số cộng:

Nếu cấp số cộng bắt đầu từ phần tử và công sai là d, thì số hạng thứ n của cấp số cộng sẽ được tính theo công thức cấp số cộng sau đây:

Un=U1+ (n-1)d

Ví dụ:

Cấp số cộng là 5;9;13;… n. biết dãy số có 7 số hạng.

Khi đó: số hạng thứ n bằng: 5 + 6.4 = 29.

5. Một số công thức khác:

5.1. Công thức liên hệ giữa hai số hạng bất kỳ

Un=Um + (n-m)d

5.2. Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và số hạng thứ n

Sn = U1+U2+ …+ Un = (n(U1+Un)/2)

6. Một số dạng bài tập tính cấp số cộng:

6.1. Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng

Bước 1: Tìm công sai khi biết hai số hạng liên tiếp nhau theo công thức: d=un–un–1,∀n≥2.

Bước 2: Kết luận:

Nếu d là số không đổi thì dãy (un) là CSC.

Nếu d thay đổi theo n thì dãy (un) không là CSC.

Ví dụ: Cho dãy số sau: 3;5;7;9;13. Dãy số trên có phải cấp số cộng không?

Công sai dãy số trên là: 5-3=2; 7-5=2; 13-9=4.

Do công sai đã có sự thay đổi.

Do đó, dãy số trên không phải cấp số cộng.

6.2. Dạng 2: Tìm công sai từ công thức cấp số cộng:

Ví dụ: Cho một cấp số cộng (Un) có U1=1 và tổng 100 số hạng đầu là 24850. Tính công sai?

Ta có S100 = 24850

(n(1+ Un)/2) = 24850

U100 = 496

Vậy U100 = 1= 99d

d= (24850-1)/99

d=5

6.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng:

Cho cấp số cộng Un có U1 = 5, d = 4 . Hãy tính U26

Ta có :

U26 = U1 + (26 – 1) d

= 5 + (26 – 1) x 4

=105

6.4. Dạng 4: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiên:

Ví dụ: Trong một cấp số cộng, biết được số hạng đầu tiên u1 = 5 và số hạng thứ 11 u11 = 25. Yêu cầu tính tổng của 11 số hạng đầu tiên trong dãy số này.

Áp dụng công thức Sn=(u1+un)n2

u1= 5

u11= 25

n =11

Dựa vào công thức trên, ta tính tổng 11 số hạng đầu: Sn=(5+25)2.11=165

6.5. Dạng 5: Tìm cấp số cộng:

Cách làm:

Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu u1, công sai d.

Tìm công thức cho số hạng tổng quát un=u1+(n–1)d

Ví dụ: Xác định cấp số cộng sao cho tổng n số hạng đầu bằng n=1 lần một nửa số hạng thứ

7. Một số bài tập ví dụ:

Câu 1: Chứng minh dãy số (un) với un = 17n + 2 là cấp số cộng

Hướng dẫn giải chi tiết:

Ta có: un+1 = 17(n + 1) + 2 = 17n + 19

=> Hiệu: un+1 – un = (17n + 19) − (17n + 2) = 17

Suy ra: (un) là cấp số cộng với công sai d = 17.

Câu 2: Cho cấp số cộng (un)

a) (u­n) có số hạng tổng quát là: un= 7n – 3. Tính S100.

b) (u­n) có u2+ u22 = 40. Tính S

c) (u­n) có u4 + u8+ u12 + u16 = 224. Tính S19.

Hướng dẫn giải chi tiết:

a) Từ công thức số hạng tổng quát

Ta có:

Số hạng đầu: u1 = 7 . 1 – 3 = 4;

Số hạng thứ hai là : u2 = 7 . 2 – 3 = 11;

Công sai: d = 11 – 4 = 7

Khi đó ta có:

S100=n2u1+(n−1)d2=100[2.4+(100−1).7]2=35050

b) Ta có: u2+u22=40⇔u1+d+u1+21d=40⇔2u1+22d=40

Vậy S23=232u1+22d2=23.402=460.

c) Ta có: u4+ u8 + u12+ u16 = 224

⇔u1+3d+u1+7d+u1+15d=224⇔4u1+36d=224⇔u1+9d=56

Vậy S19=192u1+18d2=19u1+9d=19.56=1064.

Câu 3: Cho dãy số (un) với un = 2n + 3. Chứng minh rằng dãy số (un) không phải là cấp số cộng.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Ta có: un+1 = 2n+1 + 3

Xét hiệu: un+1 − un = (2n+1 + 3) − (2n + 1)= 2n+1 − 2n

=> (un+1 − un) không phải là hằng số; còn phụ thuộc vào n. Nên dãy số (un) không là cấp số cộng.

Câu 4: Chứng minh rằng:

a) Ba số x, y, z được lập thành một cấp số cộng nếu ba số a, b, c cũng được lập thành một cấp số cộng, với x = a2– bc, y = b2– ca, z = c2 – ab.

b) Nếu phương trình x3– ax2+ bx – c = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng, thì 9ab = 2a3 + 27c.

Hướng dẫn giải chi tiết:

a) a, b, c là cấp số cộng nên a + c = 2b

Cần chứng minh x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng tức là x + z = 2y.

Ta có 2y = 2b2 – 2ca

Và x + z = a2 + c2 – b(a + c)

= (a + c)2 – 2ac – 2b2

= 4b2 – 2ac – 2b2

= 2b2 – 2ac = 2y

Khi đó ta được: y=x+z2y=x+z2

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Giả sử phương trình có ba nghiệm x1, x2, x3lập thành cấp số cộng khi đó: x1+ x3 = 2x2 (1)

Mặt khác: x3 – ax2 + bx – c = (x – x1)(x – x2)(x – x3)

= x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1)x – x1 x2 x3

Suy ra x1 + x2 + x3 = a (2)

Từ (1) và (2), ta được 3×2=a⇔x2=a33x2=a⇔x2=a3

Vì phương trình đã cho có nghiệm x2=a3x2=a3, tức là:

(a3)3−a(a3)2+b(a3)−c=0⇔−2a327+ba3−c=0⇔9ab=2a3+27ca33−aa32+ba3−c=0⇔−2a327+ba3−c=0⇔9ab=2a3+27c

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu 5: Tính các tổng sau:

a) S = 1 + 3 + 5 +… + (2n – 1) + (2n + 1)

b) S = 1 + 4 + 7 +… + (3n – 2) + (3n + 1) + (3n + 4)

c) S = 1002– 992+ 982 – 972 +… + 22 – 12

Hướng dẫn giải chi tiết:

a) Ta có dãy số 1;3;5;…;(2n – 1);(2n + 1) là cấp số cộng với công sai d = 2 và u1 = 1, số hạng tổng quát uk= u1+ (k – 1)d.

Ta kiểm tra 2n + 1 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy: 2n + 1 = u1 + (k – 1)d

⇔2n+1=1+(k−1).2⇒k=n+1⇔2n+1=1+(k−1).2⇒k=n+1. Do đó dãy số có n + 1 số hạng.

Vậy, Sn+1 = k[2u1 + (k-1)d]^2. Ta có dãy số 1; 4; 7; … (3n – 2); (3n + 1); (3n + 4) là cấp số cộng với công sai d = 3 và số hạng đầu u1 = 1. Số hạng tổng quát uk = u1 + (k – 1)d.

Ta kiểm tra 2n + 1 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy: 3n + 4 = u1 + (k – 1)d

⇔3n+4=1+(k−1).3⇒k=n+2⇔3n+4=1+k−1.3⇒k=n+2. Do đó dãy số có n + 2 số hạng.

Vậy Sn+2=k[2u1+(k−1)d]2Sn+2=k2u1+(k−1)d2=(n+2)[2+(n+1).3]2=(n+2)(3n+5)2=(n+2)2+(n+1).32=(n+2)(3n+5)2.

c) S = 1002– 992 + 982– 972 +… + 22 – 12

= (100 – 99)(100 + 99) + (98 – 97)(98 + 97) +… + (2 – 1)(2 + 1)

= 199 + 195 +… + 3

= 3 + 7 +… + 195 + 199

Ta có dãy số 3; 7; …195; 199 là cấp số cộng với công sai d = 4, số hạng đầu tiên u1 = 3 và số hạng thứ n là un = 199.

Do đó có 199=3+(n−1).4⇒n=50199=3+n−1.4⇒n=50.

Vậy S=n[2u1+(n−1)d]2S=n2u1+n−1d2=50(2.3+49.4)2=5050=502.3+49.42=5050.

Câu 6: Bài toán có một giải pháp: Một xưởng đang tuyển dụng công nhân với mức lương như sau: Trong quý đầu tiên, xưởng trả lương là 6 triệu đồng/quý và từ quý thứ 2 trở đi, lương sẽ tăng thêm 0,5 triệu đồng cho mỗi quý tiếp theo. Hỏi với mức lương này, sau 5 năm làm việc tại xưởng, tổng số lương của công nhân là bao nhiêu?

Hướng dẫn chi tiết:

Giả sử công nhân làm cho xưởng n quý thì mước lương khi đó kí hiệu (un) (triệu đồng)

Theo đề:

Quý đầu: u1 = 6

Các quý tiếp theo: un+1 = un + 0,5 với ∀n ≥ 1

Mức lương của công nhân trong mỗi quý được biểu diễn bởi dãy số hạng un. Cụ thể, lương của quý sau luôn cao hơn quý trước 0,5 triệu đồng, cho nên dãy số un là một cấp số cộng với công sai d = 0,5.

Với mỗi năm có 4 quý, tổng số quý trong 5 năm là 5 x 4 = 20 quý. Theo yêu cầu của đề bài, chúng ta cần tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng un.

Lương tháng quý 20 của công nhân: u20 = 6 + (20 – 1) * 0,5 = 15,5 triệu đồng.

Tổng lương mà công nhân nhận được sau 5 năm làm việc tại xưởng: 215 triệu đồng.

Tổng của 11 số hạng đầu tiên trong cấp số cộng có số hạng đầu tiên là u1 = 5 và số hạng thứ 11 là u11 = 25 sẽ được tính bằng công thức sau:

Tổng = (số lượng số hạng) * (tổng hai số hạng đầu cuối) / 2

Trong trường hợp này, số lượng số hạng là 11, tổng hai số hạng đầu cuối là u1 + u11 = 5 + 25 = 30. Áp dụng vào công thức trên, ta có:

Tổng = 11 * 30 / 2 = 165.

Áp dụng công thức Sn=(u1+un)n2

u1 = 5

u11 = 25

n =11

Từ công thức trên, chúng ta tính tổng 3 số hạng đầu của cấp số cộng (un) với u1 = 1 và công sai d = 2 là: S3 = (1 + 3 + 5) = 9.

A. 5

B. 8

C. 9

D. 12

Hướng dẫn giải chi tiết:

Áp dụng công thức: Sn=2u1+d(n–1)2n

u1 = 1

d = 2

n = 15

Dựa vào công thức trên, ta tính tổng 3 số hạng đầu: Sn=2.1+2(3–1)2.3=9

Chọn phương án C.

Câu 9: Một xưởng đang tuyển dụng công nhân với chế độ lương như sau: Trong quý đầu tiên, công nhân được trả 6 triệu đồng và từ quý thứ 2 trở đi, mỗi quý công nhân sẽ được tăng lương thêm 0,5 triệu đồng. Hỏi sau 5 năm làm việc tại xưởng với chế độ này, tổng số lương mà công nhân đó nhận được là bao nhiêu?

A. 215 triệu

B. 15,5 triệu

C. 155 triệu

D. 60 triệu

Hướng dẫn giải chi tiết:

Giả sử công nhân làm cho xưởng n quý thì mước lương khi đó kí hiệu (un) (triệu đồng)

Theo đề:

Quý đầu: u1 = 6

Các quý tiếp theo: un+1 = un + 0,5 với mọi n ≥ 1

Mức lương của công nhân mỗi quý là một số trong dãy số un. Thêm vào đó, lương của quý sau luôn cao hơn quý trước đó 0,5 triệu nên dãy số un là một cấp số cộng với công sai d = 0,5.

Ta biết rằng mỗi năm có 4 quý, nên sau 5 năm sẽ có tổng cộng 20 quý. Theo yêu cầu của đề bài, chúng ta cần tính tổng của 20 số hạng đầu tiên trong dãy số cộng (un).

Lương tháng của công nhân vào quý thứ 20 được tính như sau: u20 = 6 + (20 – 1) x 0,5 = 15,5 triệu đồng.

Tổng số lương của công nhân nhận được sau 5 năm làm việc tại xưởng: S12=20.(6+15,5)2=215 (triệu đồng)

Chọn đáp án A.